Números combinatorios, supercomputadoras y la edad del universo

Tomemos una cuadrícula n x n. ¿De cuántas maneras diferentes podemos atravesarla desde la esquina (0,0) hasta la (n,n) sin pasar por el mismo punto dos veces?

Para n pequeño es posible encontrar a mano todos los caminos. Es fácil convencerse de que en la figura superior están los 2 caminos posibles para el caso n=1 y los 12 caminos posibles para el caso n=2. Más tedioso es el cálculo para valores de n algo más grandes, pero si uno es algo hábil programando no le resultará muy difícil hacer un programa que genere por "fuerza bruta" todas las posibilidades.

Parece fácil ¿verdad? Pues vean en el siguiente vídeo lo que ocurriría si intentásemos usar nuestro programa para calcular el caso n=10, aún usando para ello una potente supercomputadora.



Imágen tomada de: Weisstein, Eric W. "Self-Avoiding Walk." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Self-AvoidingWalk.html

Carnaval de Matemáticas 2.X: clausura

Pues aquí concluye el Carnaval de Matemáticas 2.X. Ha sido una semana intensa, con un total de 50 participaciones, muchas de ellas de altísima calidad y de temática muy variada. Sólo lamento no haber puesto mi propio granito de arena, como hice con los otros carnavales que he albergado en Resistencia Numantina.

El carnaval nos ha traído abogados, física, genética, al Doctor Who, a Aquiles (el de los pies ligeros), al gran Gödel, poesía, sudokus, cubos de Rúbik y muchas cosas más. Aquí os presento las entradas participantes:


Lunes 23

1. Abogados, Matemáticos y Pruebas 
2. I integrate by parts
3. La hoja resuelve problemas de Combinatoria
4. Las aventuras de Troncho y Poncho Proporcionalidad.
5. Los números nos rodean
6. Mathematics is…
7. ¿Para qué tipo de juegos existe una estrategia ganadora?
8. ¿Qué número le ponemos al gen?
9. Quote de Doctor Who complementa el álgebra lineal
10. Resolviendo la ecuación de ondas… 
11. Rosas y mariposas

Martes 24

1. Aquiles, la tortuga y lo infinitamente pequeño
2. Ecuaciones de primer grado: una aplicación 
3. La guía manga del cálculo diferencial
4. La mente infinita de Gödel
5. La primera lección de integración
6. Sangaku: matemática japonesa 
7. Un problema sobre verdades y mentiras

Miércoles 25

1. Astronomical
2. Cuándo y cómo usar la regla de integración por partes: la regla de los ALPES (y otras ayudas mnemotécnicas) 
3. Frisos y la baldosa catalana.
4. Los autos locos y el sistema de puntaje Formula Uno de 1968
5. Programación genética: próximamente en tu supermercado
6. Un reparto ¿justo?

Jueves 26

1. Annamorfosis en Abbey Road
2. Autovectores: ¡otro inútil capricho de los matemáticos!
3. El recíproco de 998001
4. Espiral de Teodoro
5. Jean Bourgain y Terence Tao, premio Craaford 2012
6. Jugando con el 2012
7. La solución del problema del sudoku en Numberphile
8. 'πoetas' para el Carnaval de Matemáticas
9. Productos anagramas

Viernes 27

1. Abonos de lotería ¿una buena estrategia?
2. El "baile" de un fluido viscoso newtoniano que cae sobre una cinta transportadora.
3. El problema de la cuerda que rodea a la Tierra
4. La estructura algebraica del universo
5. La intuición no es suficiente
6. Polifieltros estrellados

Sábado 28

1. Caspar Wessel y la representación geométrica de los complejos
2. ¿Está Voronoi? Que se ponga...
3. ¿Intercambiar dos piezas en el cubo de Rubik?
4. La raiz cuadrada de dos y el tamaño del papel, en Numberphile
5. Nudos en el juego de la cuerda
6. ¡Odio las geometrías no euclídeas!

Domingo 29

1. Conozca a los números, por Grant Snider
2. La cinta de Elina
3. La generalización del recíproco de 998001
4. Los viejos acertijos de bimbo
5. Teorema de la semana: el del límite central

Pido perdón de antemano por las posibles omisiones del anterior listado. Si tu entrada no aparece entre las anteriores, envíame un mail a rnumantinablog(arroba)gmail(punto)com para subsanarlo lo antes posible.

Siguiendo la tradición iniciada por la Edición 2.1, tras la entrada de clausura se abre el periodo de votaciones. Desde el día 1 de Febrero (dejando un día para corregir las posibles omisiones) hasta el próximo día 15 podéis votar vuestra entrada favorita del Carnaval. Para ello dejad un comentario en esta entrada.

Un saludo, y... ¡Que disfrutéis con las entradas participantes!

Actualización 22 Febrero

Pues el recuento de votos (complicado, pues había que sumar fracciones) queda como sigue:

Entrada ganadora: ¿está Voronoi? Que se ponga... 4'5 votos ¡Enhorabuena!
Runner up: Sangaku: matemática japonesa 2 votos

Continúa la clasificación con 10 entradas empatadas a un voto:

• Autovectores: ¡otro inútil capricho de los matemáticos!
• El problema de la cuerda que rodea la Tierra
• ¿Intercambiar dos piezas del Cubo de Rubik?
• La cinta de Elina
• La mente infinita de Gödel
• Los viejos acertijos de bimbo
• 'πoetas' para el Carnaval de Matemáticas
• Programación genética, próximamente en tu supermercado
• ¿Para qué tipo de juegos existe una estrategia ganadora?
• Quote de Doctor Who complementa el álgebra lineal

Y recibe medio voto: Nudos en el juego de cuerdas

Enhorabuena a todos los participantes, y por supuesto a los ganadores Clara Grima y el blog Sacit Ámetam en particular. Os recuerdo que aún estáis a tiempo de participar en la Edición 3.1 del Carnaval de Matemáticas que este mes organiza Tito Eliatron.

Carnaval de matemáticas: Obertura

Este blog, Resistencia Numantina, tiene el honor de organizar la edición de este mes del Carnaval de Matemáticas, en lo que será su edición 2.X. El Carnaval de Matemáticas empezó en febrero de 2010, como iniciativa de Tito Eliatron, para divulgar las matemáticas en todos sus aspectos y ámbitos. Con esta edición, la iniciativa cumplirá dos años de éxitos y brillantes participaciones.

¿Qué hay que hacer para participar en el carnaval?

Primero tienes que publicar una entrada en tu blog. Para aquellos que no tengan, queda la opción de registrarse en la web del Carnaval de Matemáticas y escribirlo allí. Luego tienes que indicar que la entrada participa en el Carnaval. Para ello debes poner en tu entrada:

1. Que dicho post o entrada es una contribución para la edición 2.X del Carnaval de Matemáticas.
2. Un enlace a la web del Carnaval.
3. Un enlace al blog anfitrión, que en esta edición es Resistencia Numantina

Por último, tienes que hacernos saber de tu participación, mandando un correo a rnumantinablog(arroba)gmail(punto)com. Para facilitar la difusión del artículo, puedes además enlazarlo (opcional)...

1. ... a la web del Carnaval de Matemáticas
2. .... con mención a la Cuenta Oficial del Carnaval en twitter @CarnaMat
3. ... como un comentario en la entrada de presentación de este mismo blog.
4. ... con mención a @rnumantinablog en twitter

Podéis mandar vuestras entradas desde el lunes 23 de enero hasta el domingo 29 de enero de 2012. Un par de días después publicaré una entrada-resumen en el blog con todos los post participantes en la edición, y podréis votar la entrada ganadora.

Recomiendo, por último, visitar el blog "Que no te aburran las Mates",  donde aún se lleva a cabo la votación de las entradas de la pasada edición del carnaval.


Actualización 16/1:

Corregí una errata en la entrada. El carnaval comienza el 23 de Enero, no de Diciembre. Dado que ha sido un error mío, aceptaré para el carnaval excepcionalmente las dos entradas enviadas antes de tiempo.

Ediciones anteriores:

AÑO 2010

• Primera (15/02/2010) Tito Eliatron Dixit
• Segunda Edición (15/03/2010) Juan de Mairena [v.2.71828].
• Tercera Edición (19/04/2010)  Geometría Dinámica
• Cuarta Edición (17/05/2010)  Zurditorium
• Quinta Edición (21/06/2010) Ciencia por Barcedavid.
• Sexta Edición (27/09/2010) Blog de Sangakoo
• Séptima Edición (25/10/2010) El Máquina de Turing.
• Octava Edición (21/11/2010) Los Matemáticos no son Gente Seria
• Novena Edición (20/12/2010) Rescoldos en la Trébede
• Décima Edición (31/01/2011) La Ciencia de la Mula Francis

AÑO 2011

• Edición 2.1 (21/02/2011) Tito Eliatron Dixit
• Edición 2.2 (28/03/2011) Gaussianos
• Edición 2.3 (24/04/2011) Los matemáticos no son gente seria
• Edición 2.4 (26/05/2011) Seis Palabras Claras
• Edición 2.5 (02/07/2011) Juegos Topológicos
• Edición 2.6 (26/09/2011) La Vaca Esférica
• Edición 2.7 (15/10/2011) La Aventura de la Ciencia
• Edición 2.8 (29/11/2011) Ciencia Conjunta
• Edición 2.9 (26/12/2011) Que no te aburran las Mates

Instalando Latex en Blogger

Ahora ya puedo escribir palabrotas del tipo:

\[
\begin{align}
\nabla \times \vec{\mathbf{H}} - \frac{\partial\vec{\mathbf{D}}}{\partial t} &= \vec{\mathbf{j}} \\
\nabla \cdot \vec{\mathbf{D}} & = \rho \\
\nabla \times \vec{\mathbf{E}} + \frac{\partial\vec{\mathbf{B}}}{\partial t} & = \vec{\mathbf{0}} \\
\nabla \cdot \vec{\mathbf{B}} & = 0
\end{align}
\]
y todo gracias a MaxTax. Sólo hay que copiar en la cabecera del blog (En Diseño > Edición de HTML, tras la etiqueta <head>) el siguiente código:

<script type="text/javascript" src="http://cdn.mathjax.org/mathjax/latest/MathJax.js">
MathJax.Hub.Config({
extensions: ["tex2jax.js","TeX/AMSmath.js","TeX/AMSsymbols.js"],
jax: ["input/TeX", "output/HTML-CSS"],
tex2jax: {
inlineMath: [ ['$','$'], ["\\(","\\)"] ],
displayMath: [ ['$$','$$'], ["\\[","\\]"] ],
},
"HTML-CSS": { availableFonts: ["TeX"] }
});
</script>

Cualquier código escrito en $\LaTeX$ en la entrada, será compilado y sustituído por el resultado. Así, por ejemplo, $\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \vec{\mathbf{j}} = 0$ se convierte en $ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \vec{\mathbf{j}} = 0 $

Si queréis que la ecuación aparezca en una nueva línea y centrada, basta ponerla entre los símbolos \[ \] o de $$ $$ en vez de entre los símbolos simples del dólar.

El metro de Moebius

En el blog personal de Claudi Mans han colgado la curiosa imagen que aparece sobre estas líneas. Es un cartel del metro de Barcelona y, como muy bien se explica en el artículo, en él figura un tren que parece estar circulando en una cinta de Moebius (aunque eso, sólo lo parece).

Un guiño (aunque sea involuntario) a una película muy geek dirigida en 1996 por la Universidad de Cine de Buenos Aires, en la que el "subte" bonaerense se vuelve tan complejo que se convierte en una gigantesca cinta de Moebius donde los trenes desaparecen. Entre los diálogos de la película encontramos joyitas como:

"Creo que todo esto lo causó el nuevo ramal: El sistema es de una gran complejidad topológica. Ya lo era desde las últimas ampliaciones, pero el perimetral la hizo algo... absolutamente singular. Todavía no lo comprendo del todo, pero creo que el nuevo ramal ha llevado la conectividad de todo el sistema a un nivel tan alto que no sé cómo calcularlo: supongo que ha llegado a ser infinito. De ser así, señores, podríamos deducir que el sistema se comporta como una cinta de Moebius"

Cómo volver una esfera del revés

Si podemos deformar como queramos una esfera (pero siempre de forma suave: sin dobleces) y también hacer que una parte interseque con otra, pero no cortarla ni "hacer agujeros" en ningún momento... ¿podemos volver esa esfera del revés?

Parece imposible, pero sí que podemos. Es conocida como la paradoja de Smale, y fue descubierta en 1958 por un matemático americano llamado (curiosamente) Stephen Smale.

Un ejemplo más que ilustra el hecho de que cuando la razón humana llega a su límite... entonces usamos las matemáticas.

vía @gabriel_hgs

PD: Esta entrada participa en la edicion 2.4 del carnaval de matemáticas, que este mes tiene a bien alojarse en el blog seispalabras.

Gauss facts

Todos aquellos que hayáis oído hablar de Gauss sabréis que es algo así como el Chuck Norris de las matemáticas. Aqui van algunos de mis hechos favoritos sobre Gauss:

• Gauss puede romper un imán y obtener dos monopolos
• Cuando Gauss quiere resolver un problema en R^4, lo visualiza en R^n y luego hace n=4
• Fermat dijo que el margen de un libro era demasiado estrecho para su demostracion. La prueba de Gauss era demasiado pequeña para un margen tan grande.
• Gauss puede probar dos teoremas diferentes con la misma demostración. 
• "No pude encontrar un contraejemplo" es una prueba matemáticamente válida si está escrita por Gauss.
• Gauss tiene un numero Erdos de -1.
• Si Gauss omitiera QED al final de sus demostraciones, podriamos salvar varios bosques de la deforestación.
• Gauss puede recorrer Koenisberg pasando por todos los puentes una y una sola vez.
• Ley de Gauss: cualquier teorema que se pueda encerrar en una superficie cerrada... ha sido ya demostrado por Gauss.
• Gauss nunca anda escaso de naranjas... las multiplica usando la paradoja de Banach-Tarski. 

Si conoceis algun otro lo sufientemente bueno, ponedlo en los comentarios. Tour en barca por Cambridge gratis para los que propongan los mejores.

Actualización 4:30 del 7 de Mayo: Cambio la foto por un dibujo que he hecho, más adecuado para la entrada. Podéis comprar camisetas con esa imagen en este link,

Nabla no es una letra griega

Cómo bien sabe quien se haya adentrado un poco en los bosques de la física o el de las matemáticas, los que nos dedicamos a estas cosas tenemos una gran afición a usar todo tipo de símbolos extraños en cuanto surge la mínima oportunidad.

Muchas veces usamos los números de toda la vida (sí, esos que surgieron en la India y trajeron los árabes). Sin embargo para las incógnitas solemos usar letras latinas como x,y o z para valores reales, o z y w si consideramos valores complejos. En ocasiones más solemnes usamos letras griegas (por ejemplo para indicar ángulos o constantes físicas como la de Planck), y a veces también nos ponemos estupendos (o se nos acaban las letras) y usamos alguna letra hebrea (como para los números transfinitos). Hoy voy a hablar aquí de un símbolo con un origen menos conocido: nabla.

Exposición IMAGINARY

La exposición IMAGINARY consiste en doce figuras tridimensionales que corresponden a diferentes ecuaciones algebraicas. Además, el visitante podrá usar unas pizarras interactivas para modificar las figuras junto con la ecuación correspondiente.

Originalmente creada por el "Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach" alemán, esta exposición visitará España con la asistencia de la Real Sociedad Matemática Española. Las ciudades que la acogeran son las siguientes: 

La papiroflexia es NP-hard y otras curiosidades

Si pensabas que la papiroflexia era fácil, nada mas lejos de la realidad!

Unos investigadores han demostrado que la papiroflexia es un problema NP-hard. Sin entrar en complicaciones matemáticas, esto significa que, si bien es fácil comprobar que un esquema papiroflexico sobre el papel lleva a una figura concreta (i.e. doblandolo), es muy difícil encontrar una forma de doblar un papel para obtener una figura dada.

Lo hacen demostrando que es un problema equivalente al empaquetamiento de círculos, que ya se sabia anteriormente que era NP-hard. De regalo, han demostrado también que un numero cualquiera de círculos con área total 1 pueden ser empaquetados en un cuadrado de lado 8/pi.

Podéis ver el articulo aqui: http://arxiv.org/abs/1008.1224

Esta noticia me ha hecho mucha gracia, porque en muchos casos había oído que la matemática tiene en la papiroflexia mucho mas que un divertimento. Por ejemplo, con origami puedes resolver ecuaciones de segundo y tercer grado:
http://origami.ousaan.com/library/conste.html

Sistemas de ecuaciones diferenciales parciales:
http://cvgmt.sns.it/papers/dacmarpao10/

Y construcciones imposibles con regla y compás, como la triseccion del ángulo:
http://www.math.lsu.edu/~verrill/origami/trisect/

Transformaciones de Möbius