¿Qué pesa más, un kilo de paja o de helio? Arquímedes Revisited

La mayoría de vosotros habréis sufrido la famosa cuestión: "¿Qué pesa más, un kilo de paja, o un kilo de hierro?" La respuesta correcta es discutible, pero en lo que todo el mundo está de acuerdo es que es una respuesta obvia. El que no haya reflexionado, pensará que obviamente el hierro pesa más que la paja. El que reflexione un poco más, dirá que obviamente los dos pesan lo mismo, ya que tenemos un kilo de cada material. Aquí nos preocuparemos de dar una pequeña vuelta de tuerca más, que debería empezar a ser "obvia" al añadir una tercera parte a la tan manida pregunta: "¿Y... un kilo de helio?"

El meollo del problema es que la pregunta habla de dos magnitudes que en principio no son comparables. La primera es la masa, que se mide en kilogramos. La segunda es el peso, una fuerza, que se mide en newtons. Una de las razones que castigan al olvido esta distinción (para el común de los mortales) es el hecho de que, habitualmente, medimos lo segundo y deducimos lo primero. Eso es básicamente lo que hace la balanza de tu casa cuando te montas encima, mide tu peso, pero el indicador muestra un valor en kilos.

Fuente: ESA

La mayor componente de esa fuerza que mide la balanza es la atracción gravitatoria terrestre. Newton dijo que (bajo ciertas condiciones) esa fuerza era de la forma $$F_g = G\frac{M_T m}{r^2}$$ dónde G es una constante de proporcionalidad universal, $m$ la masa del objeto en cuestión, $M_T$ la masa de la tierra y $r$ la distancia al centro de la Tierra. Suponiendo que se cumplen las condiciones de la fórmula de Newton (falso si nos ponemos estrictos, pues las inhomogeneidades de la corteza terrestre producen una gravedad ligeramente diferente en cada punto de la superficie, como muestra la imagen superior) y que todo lo medimos a la mista distancia del centro de la Tierra, la fórmula anterior muestra simplemente que la fuerza de la gravedad y la masa son proporcionales ($F_g = m\ g$): un kilo de cualquier material es igual ante la ley de la gravedad, independientemente de densidad, volumen, etc...

Este sería el fin de la discusión si no fuese por un problema. Como enunció Arquímedes, cada cuerpo sumergido en un fluido sufre una fuerza de empuje proporcional a la masa de fluido $m_f$ que desplaza ($F_a=-m_f\ g$)... y nosotros estamos permanentemente sumergidos en un océano de aire. Debido a la baja densidad del aire, esta fuerza es normalmente pequeña en comparación con la fuerza gravitatoria, pero... ¿Alguna vez has probado a pesar un kilo de helio con una balanza? Pues buena suerte, porque su densidad, menor que la del aire, hace que la fuerza de Arquímedes supere a la de la gravedad y que el helio caiga "hacia arriba" (¡Un peso negativo!).

En nuestro caso, la mayor densidad del hierro hace que desplace menos aire (pues necesitamos un volumen de hierro menor), y por tanto la fuerza de empuje menor que una masa similar de paja. Con los datos de las densidades de la paja, el hierro y el aire, podemos calcular fácilmente que, medidos en aire, un kilo de hierro pesa aproximadamente un 1% más que un kilo de paja, aunque pesarían lo mismo si pudiésemos hacer la medida en el vacío.

En los laboratorios, los científicos que realizan pesadas de precisión son muy conscientes de este efecto, haciendo habitualmente la llamada corrección por empuje para obtener la masa real. Pero ¿y comercialmente? ¿le preocupa al frutero vendernos 1.005 Kg de manzanas cuando él quiere vender 1 Kg? ¿Y a un vendedor de materias primas industriales? ¿Lo suficiente como para hacer una complicada corrección que implica clacular densidad del aire y del objeto?

La solución al problema es el uso en la metrología legal (comercial) de la llamada masa aparente, definida para que sea directamente proporcional al peso. De este modo, en aire, un kilo (masa aparente) de hierro pesa lo mismo que un kilo (aparente) de paja. Por el contrario, de hacer ahora la medida en el vacío... ¡el kilo (aparente) de paja pesaría ahora más que el de hierro!

Esta entrada participa en la XXIII edición del Carnaval de la Física, que es organizada este mes por el blog Astrofísica y Física.